Induksi Matematika

INDUKSI MATEMATIKA

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Contoh

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n².

Persamaan yang perlu dibuktikan:

Langkah pembuktian pertama:
untuk , benar bahwa

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk n = k, yaitu

, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1, yaitu

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k² = 1 + 3 + 5 + … + 2k − 1 sesuai dengan pengandaian awal

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

, ingat bahwa (k + 1)² = k² + 2k + 1

(terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

 Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk§  Induksi Matematika digunakan untuk mengecek§membuktikan pernyataan  §hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu   n"Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements   N dan N adalah himpunan bilangan positif atauÌ A S(n) dengan A Π S(n) adalah fungsi propositional§himpunan bilangan asli.
 Inductive Step : Sumsikan S(k) benarØ Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar ØTAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA

 Akan dibuktikan   S(k+1) benar®S(k)

 Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integerØ

 positif

PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA

Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif

 Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :

      1 = 1®1 = ½ 1 . (1+1)

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ kq  adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)q(k+1)

 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2qJawab :

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

 Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif nq

Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif

 Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :

      1 = 1®1 = 12

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) =q  adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k +qk2  1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n – 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif

 Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :qJawab :

     1 = 13 + 2(1)   1 = 3 , kelipatan 3®

 adib.q Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x q Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n